Ejercicio 4 de la Opción B del modelo 4 de 2007
Ejercicio 4 de la Opción B del modelo 4 de 2007
[2’5 puntos] Calcula la distancia del punto P(1,−3,7) a su punto simétrico respecto de la recta definida por
3x− y− z− 2 =0
x+ y− z+ 6 =0
Solución
d(P,P’) = 2.d(P,Q), donde Q es la proyección ortogonal de P sobre la recta "r" y P’ es el simétrico del punto P respecto de la recta "r"
De la recta "r"
3x− y− z− 2 =0
x+ y− z+ 6 =0
Tomamos un punto A y un vector director u
Para el punto A hacemos x = 0, con lo cual sumando sale z = 2 e y = - 4, luego A(0, -4, 2)
Un vector director de la recta es, u = 
= i(1 + 1) – j(-3 + 1) + k(3 + 1) = (2, 2, 4)
Calculamos el plano p perpendicular a la recta "r" que pasa por el punto P(1,−3,7). Su vector normal n es el vector director de la recta u = (2, 2, 4)
El plano pedido es 2x + 2y + 4z + K = 0. Le imponemos la condición de que pase por P(1,−3,7).
2(1) + 2(-3) + 4(7) + k = 0 , de donde K = -24 y el plano es 2x + 2y + 4z - 24 = 0. Simplificándolo x + y + 2z – 12 = 0
El punto Q es la intersección de la recta "r" con el plano, para lo cual ponemos la recta en paramétricas, y la sustituimos en el plano.
x = 0 + 2m
y = - 4 + 2 m
z= 2 + 4m
(2m) + (- 4 + 2m) + 2(2 + 4m) – 12 = 0 = 2m + 2m + 8m – 12 = 0, de donde m = 1 y el punto Q es Q( 2(1), -4+2(1), 2+4(1) ) = Q(2,-2,6)
d(P,Q) = ||PQ|| = 
PQ = (2 – 1, -2 –(-3), 6 – 7) = (1, 1, -1)
La distancia pedida es d(P,P’) = 2.d(P,Q) = 
u.l.