Germán Jesús Rubio Luna     " g.j.rubio@telefonica.net " Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala de Granada

     Examen modelo 4 de sobrantes de 2007

Instrucciones

a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o bien realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B.

c) La puntuación de cada pregunta está indicada en las mismas.

d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.

e) Puedes usar calculadora científica (no programable, sin pantalla gráfica y sin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos), pero todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

modelo 4 de sobrantes de 2007 - Opción A

Ejercicio 1. [2’5 puntos] De entre todos los rectángulos situados en el primer cuadrante que tienen dos de sus lados sobre los ejes coordenados y un vértice en la recta r de ecuación x/2 + y = 1 (ver figura), determina el que tiene mayor

Ejercicio 2. Sea

(a) [1 punto] Expresa I haciendo el cambio de variable t = ex .

(b) [1’5 puntos] Calcula I

Ejercicio 3. [2’5 puntos] Clasifica y resuelve el siguiente sistema según los valores de a,

x + y + z = 0

(a + 1)y + 2z = y

x − 2y + (2 − a)z = 2z

Ejercicio 4.- Considera la recta r definida por y el plano π de ecuación 2x − y + βz = 0. Determina α y β en cada uno de los siguientes casos:

(a) [1 punto] La recta r es perpendicular al plano π.

(b) [1’5 puntos] La recta r está contenida en el plano π.

modelo 4 de sobrantes de 2007 - Opción B

Ejercicio 1. Sea f : R → R la función definida por f(x) = x2e -x .

(a) [1’5 puntos] Determina los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).

(b) [1 punto] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.

Ejercicio 2. Sea f : (−2,0) → R la función definida mediante

(a) [1’5 puntos] Determina αy β sabiendo que f es derivable.

(b) [1 punto] Calcula

Ejercicio 3. Se sabe que el sistema de ecuaciones lineales

−λx+ y+ (λ+ 1)z = λ+ 2

x + y + z = 0

(1 − λ)x− λy = 0

tiene más de una solución.

(a) [1’5 puntos] Calcula, en dicho caso, el valor de la constante λ.

(b) [1 punto] Halla todas las soluciones del sistema.

Ejercicio 4.  [2’5 puntos] Calcula la distancia del punto P(1,−3,7) a su punto simétrico respecto de la recta definida por

3x− y− z− 2 =0

x+ y− z+ 6 =0