Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 5 de 2007Germán Jesús Rubio Luna " g.j.rubio@telefonica.net " Catedrático de Matemóticas del IES Francisco Ayala de Granada
Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 5 de 2007
Sea f : R → R la función definida por f(x) = (x - 3)e x .
(a) [1 punto] Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).
(b) [1’5 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión.
Solución
(a)
Recuerdo que:
Si f ‘(a) = 0 y f ‘’(a) < 0, x = a es un máximo relativo
Si f ‘(a) = 0 y f ‘’(a) > 0, x = a es un mínimo relativo
f(x) = (x - 3)e x .
f ‘(x) = e x + (x - 3)e x = (1 + x - 3)e x = (x - 2)e x .
De f ‘(x) = 0, tenemos (x - 2) = 0 de donde x = 2 (la exponencial ex > 0 siempre), que será el posible extremo relativo
f ‘’(x) = e x + (x - 2)e x = (1 + x - 2)e x = (x - 1)e x .
Como f ‘’(2) = (2 - 1)e 2 = e2 > 0, x = 2 es un mínimo relativo que vale f(2) = f(x) = (2 - 3)e 2 = -e2.
(b)
Los puntos de inflexión verifican f ‘’(x) = 0
f ‘’(x) = (x - 1)e x .
De f ‘’(x) = 0, tenemos x – 1 = 0, de donde x = 1 (la exponencial ex > 0 siempre), que es el punto donde piden la recta tangente.
Recta tangente en x = 1 es y - f(1) = f ‘(1)(x – 1)
f(x) = (x - 3)e x , luego f(1) = (1 - 3)e 1 = -2e.
f ‘(x) = (x - 2)e x , , luego f ‘(1) = (1 - 2)e 1 = -e.
La recta tangente pedida es y – (-2e) = -e(x – 1)