(a) [1’5 puntos] Calcula el valor de m para el que la matriz verifica la relación 2A² - A = I y determina A^-1 para dicho valor de m.
(b) [1 punto] Si M es una matriz cuadrada que verifica la relación 2M² - M = I, determina la expresión de M⁻¹en función de M y de I.

(a)

; ;

2A² – A =

De 2m + 1 = 0, tenemos m = - 1/2

De 2m² - m = 1, resolviendo la ecuación 2m² – m – 1 = 0, tenemos m = - 1/2 y m = 1, por tanto la única solución común es m = -1/2.

Para m = - 1/2, ; det(A) = |A| = -1/2, luego existe A ^-1.

Recordamos que A^-1 = (1/|A|). Adj(A^t)

, , ,

A^-1 = (1/|A|). Adj(A^t) = (1/ (-1/2)). =

(b)

Si M es una matriz cuadrada que verifica la relación 2M² - M = I, para obtener M ^-1 tenemos que tener en cuenta que. Si M es cuadrada y M.B = I, entonces por definición B es la matriz inversa de M.

De 2M² – M, sacando factor común la matriz M por la izquierda tenemos M(2M – I) = I. Por tanto por definición la matriz inversa es M ^-1 = 2M – I, siendo I la matriz unidad del mismo orden que M.