Ejercicio 4 de la Opción A del modelo 5 de 2007Germán Jesús Rubio Luna " g.j.rubio@telefonica.net " Catedrático de Matemóticas del IES Francisco Ayala de Granada
Ejercicio 4 de la Opción A del modelo 5 de 2007
(a) [1’5 puntos] Encuentra la ecuación de la recta r que pasa por el origen de coordenadas y es paralela a los planos
π1 de ecuación x + y + z =3√3 y π2 de ecuación - x + y + z =2.(b) [1 punto] Halla la distancia de la recta r al plano
π1.Solución
(a)
Origen de coordenadas O(0,0,0)
Plano
π1 de ecuación x + y + z =3√3. Su vector normal es n = (1,1,1)Plano
π2 de ecuación - x + y + z =2. Su vector normal es n’ = (-1,1,1)Como la recta "r" pedida es paralela a ambos planos su vector director u es el producto vectorial de los vectores n y n’.
u = 
= i(1-1) – j(1+1) + k(1+1) = (0, -2, 2)
La recta "r" pedida en paramétricas es (pasa por el origen de coordenadas)
x= 0
y = -2m
z= 2m,
con m
∈ R(b)
El vector director de la recta "r" es u = (0, -2, 2), que por su construcción es perpendicular al vector normal n del plano
π1, por tanto la recta y el plano son paralelos con lo cual la distancia de la recta "r" al plano "π1" es la distancia de cualquier punto de la recta (el origen) al plano, es decir