Examen modelo 5 de 2007

Germán Jesús Rubio Luna " g.j.rubio@telefonica.net " Catedrático de Matemóticas del IES Francisco Ayala de Granada

Examen modelo 5 de sobrantes de 2007

Instrucciones
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o bien realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en las mismas. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora científica (no programables, sin pantalla gráfica y sin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos), pero todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Modelo 5 de sobrantes de 2007 - Opción A
Ejercicio 1. Sea f : R → R la función definida por f(x) = (x - 3)e ^x . (a) [1 punto] Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). (b) [1’5 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión. Ejercicio 2. Sea f : R → R la función definida por (a) [1 punto] Determina el valor de α sabiendo que f es derivable. (b) [0’5 puntos] Haz un esbozo de la gráfica de f. (c) [1 punto] Calcula . Ejercicio 3. (a) [1’5 puntos] Calcula el valor de m para el que la matriz verifica la relación 2A² - A = I y determina A^-1 para dicho valor de m. (b) [1 punto] Si M es una matriz cuadrada que verifica la relación 2M² - M = I, determina la expresión de M⁻¹en función de M y de I. Ejercicio 4.- (a) [1’5 puntos] Encuentra la ecuación de la recta r que pasa por el origen de coordenadas y es paralela a los planos π₁ de ecuación x + y + z =3√3 y π₂ de ecuación - x + y + z =2. (b) [1 punto] Halla la distancia de la recta r al plano π₁.
Modelo 5 de sobrantes de 2007 - Opción B
Ejercicio 1. Sea f la función definida , para x ≠ 2 y x ≠ - 2, por f(x) = (x² + 3)/(x² – 4). (a) [1 punto] Determina las asíntotas de la gráfica de f. (b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). (c) [0’5 puntos] Esboza la gráfica de f. Ejercicio 2. Calcula (a) [1 punto] (b) [1’5 puntos] Ejercicio 3. [2’5 puntos] Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones para los valores de m que lo hacen compatible: x+ my = m mx+ y = m mx+ my = 1 Ejercicio 4. Considera el punto P(1,0, - 2) y la recta r definida por (a) [1’5 puntos] Determina la recta perpendicular a r que pasa por P. (b) [1 punto] Halla la distancia entre el punto P y su simétrico Q respecto de la recta r.