[2’5 puntos] Determina la función f : R → R sabiendo que f ‘’(x) = x² − 1 y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0 es la recta y = 1.

f ‘’(x) = x² − 1 y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0 es la recta y = 1.

La recta tangente de f(x) en x = 0 es "y – f(0) = f ‘(0)(x – 1)". Como me dicen que es y = 0, me están dando las condiciones f ‘(0) = 0 y f(0) = 1

Por el teorema fundamental del cálculo integral: si f(x) es una función continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces la función es derivable y su derivada es la función f(x). En nuestro caso   y 

 x³/3 – x + K

f ‘(x) = x³/3 – x + K. Como f ‘(0) = 0, tenemos 0 = 0 – 0 + K, de donde K = 0, por tanto f ‘(x) = x³/3 – x

 x⁴/(12) – x²/2 + M.

Como f(0) = 1, tenemos 1 = 0 – 0 + M, de donde M = 1, por tanto la función pedida es f(x) = x⁴/(12) – x²/2 + 1.