[2’5 puntos] Se quiere construir un depósito en forma de prisma de base cuadrada sin tapadera que tenga una capacidad de 500 m³. ¿Qué dimensiones ha de tener el depósito para que su superficie sea mínima?

Función a optimizar: Superficie S = x² + 4xy (No tiene tapa superior)

Relación entre las variables Capacidad = Volumen = 500 = x².y, de donde y = (500)/x²

Sabemos que si g ‘(a) = 0 y g ‘’(a) < 0, x = a es un máximo relativo de g(x)

Sabemos que si g ‘(a) = 0 y g ‘’(a) < 0, x = a es un máximo relativo de g(x)

S(x) = x² + 4xy = x² + 4x(500)/x² = x² + 2000/x

S ‘(x) = 2x - 2000/x²

De S ‘(x) = 0, tenemos 2x - 2000/x² = 0, es decir x³ = 1000 y calculando la raíz cúbica sale x = 10.

S ‘’(x) = 2 + 4000/x³

Como S ‘’(10) = 2 + 4000/(10)³ > 0, x = 10 es un mínimo relativo.

De x = 10, tenemos y = (500)/(10)² = 5, luego las dimensiones del depósito son x = 10 e y = 5.