[2’5 puntos] Calcula β > 0 para que el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f : R → R y g : R → R definidas por f(x) = x² y g(x) = −x² + 2β² sea 72 (unidades de área).

La gráfica de f(x) = x² es una parábola que tiene su vértice en (0,0) y las ramas hacia arriba

Como b > 0, la gráfica de g(x) = −x² + 2β² es igual que la de – x² (como la de x² pero simétrica respecto el ej OX) pero desplazada hacia arriba 2β² en OY

Aunque no lo piden las gráfica conjuntas son:

Área = 72 u² =

"a" y "b" son las soluciones de f(x) = g(x), es decir x² = - x² + 2.β ². Operando x² = β ², de donde x = ± β

72 =

= ( (-2/3)β³ + 2β³ ) - ( (2/3)β³ - 2β³ ) = (8/3) β³

De (8/3)β³= 72, resulta β³ = 27 y calculando la raíz cúbica obtenemos β = 3.