Ejercicio 3 de la Opción B del modelo 6 de 2007Germán Jesús Rubio Luna " g.j.rubio@telefonica.net " Catedrático de Matemóticas del IES Francisco Ayala de Granada
Ejercicio 3 de la Opción B del modelo 6 de 2007
Considera el sistema de ecuaciones
x + y + m z = 1
m y − z = −1
x + 2m y = 0
(a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema según los valores de m.
(b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.
Solución
(a)
x + y + m z = 1
m y − z = −1
x + 2m y = 0
La matriz de los coeficientes es 
y la ampliada 
det(A) = 
- m2 + 2m - 1
|A| = 0, nos dice que - m2 + 2m - 1 = 0 y las soluciones son m = 1 (doble)
Si m ≠ 1 , rango(A) = rango(A*) = 3 por tanto el sistema es compatible y determinado y tiene solución única.
(b)
Si m = 1
La matriz de los coeficientes es 
y la ampliada 
En A como 
, rango(A) = 2
En A* como 
, por tener dos filas iguales, luego rango(A*) = 2
Como rango(A) = rango(A*) = 2, el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones que dependen de un parámetro. Este es el caso que nos piden resolver.
(b)
Hemos visto que para m = 1, rango(A) = rango(A*) = 2 por tanto sólo tomamos dos ecuaciones y dos incógnitas principales. Elijo 1ª y 2ª ecuación.
x + y + z = 1
+ y – z = - 1.
Tomando z = a ∈ R obtenemos y = – 1 + a y x = 2 – 2a, luego la solución del sistema para m = 1 es (x, y, z) = (2 – 2a, – 1 + a, a) con a ∈ R