Ejercicio 4 de la Opción A del modelo 6 de 2007
Considera el plano π de ecuación 2x + 2y− z− 6 =0 y el punto P(1,0,−1).
Ejercicio 4 de la Opción A del modelo 6 de 2007
Considera el plano π de ecuación 2x + 2y− z− 6 =0 y el punto P(1,0,−1).
(a) [1’25 puntos] Calcula la recta que pasa por el punto P y es perpendicular al plano π.
(b) [1’25 puntos] Encuentra el punto simétrico de P respecto del plano π.
Solución
(a)
La recta "r" perpendicular al plano π de ecuación 2x + 2y− z− 6 = 0, tiene como vector director u el vector normal del plano n, luego u = n = (2, 2, - 1)
La ecuación de la recta "r" perpendicular a "π" que pasa por el punto P, en forma paramétrica es:
x = 1 + 2m
y = 0 + 2m
z = - 1 - m
(b)
Para calcular el punto P’ simétrico del punto P respecto a la recta "r", nos damos cuenta por el apartado (a) que el punto Q (intersección de la recta "r" con el plano "π") es el punto medio del segmento PP’
Para calcular Q = r ∩ π, sustituyo la recta en el plano y determino m.
2( 1 + 2m) + 2(2m) − (- 1 - m )− 6 = 0. Operando 9m – 3 = 0, de donde m = 1/3.
El punto Q es Q(1 + 2(1/3), 2(1/3), - 1 – (1/3) ) =Q(5/3, 2/3, -4/3)
Como Q es el punto medio del segmento PP’, tenemos que (5/3, 2/3, -4/3) = ( (1+x)/2, y/2, (z-1)/2), de donde igualando miembro a miembro y despejando obtenemos que el punto simétrico P ‘ es P ‘(7/3, 4/3, -5/3)