Considera el plano π de ecuación 2x + 2y − z − 6 = 0 y la recta "r" definida por

(a) [1’25 puntos] Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano π con los ejes de coordenadas.

π de ecuación 2x + 2y − z − 6 = 0. Su vector normal es n = (2, 2, - 1)

recta "r" definida por . Punto de la recta M(1, -1, 0) y vector director u = (2, -1, 2)

(a)

Para calcular los vértices de los puntos de corte del plano π con los ejes de coordenadas, ponemos la ecuación del plano en su forma segmentaria, y los números que dividan a la "x", la "y" y la "z" serán la abscisa, ordenada y cota de la intersección.

2x + 2y − z − 6 = 0

2x + 2y − z = 6. Dividimos todo por 6

x/3 + y/3 + z/(-3) = 1, por tanto los puntos de corte son A(3, 0, 0), B(0, 3, 0) y C(0, 0, - 3)

(También se puede hacer como intersección de planos. Para el A se hace la intersección del plano dado con los planos y = 0 y z = 0)

Recordamos que el área del triángulo es 1/2 del área del paralelogramo que determinan los vectores AB y AC, y que el área del paralelogramo era el módulo del producto vectorial de dichos vectores, es decir.

Área triángulo = (1/2).||ABxAC||

AB = (-3,3,0)

AC = (-3,0,-6)

ABxAC = = i(-18) – j(-18) + k(9) = (- 18, - 18, 9)

Área triángulo = (1/2).||ABxAC|| =

(b)

Como la recta "r" y el plano "π" son paralelos porque el vector normal del plano n = (2, 2, - 1) y el vector director de la recta "r" u = (2, -1, 2) son perpendiculares al ser su producto escalar cero (veámoslo)

n· u = (2, 2, - 1)· (2, -1, 2) = 2 – 2 – 2 = 0

resulta que la distancia de la recta "r" al plano "π" es la distancia de un punto cualquiera de la recta, el M(1,-1,0) al plano "π", es decir d("r", "p ") = d(M, "p ") =