Germán Jesús Rubio Luna " g.j.rubio@telefonica.net " Catedrático de Matemóticas del IES Francisco Ayala de Granada
[2’5 puntos] Determina dos números reales positivos sabiendo que su suma es 10 y que el producto de sus cuadrados es máximo.
SoluciónEs un problema de optimización, sean x e y los dos números
Relación x + y = 10.
Optimizar P = x2.y2
De x + y = 10, tengo y = 10 – x, luego P = x2.y2 = P = x2.(10 – x )2 = x2.(100 – 20x + x2 ) = x4 – 20x3 + 100x2.
P(x) = x4 – 20x3 + 100x2. Calculamos P’(x), resolvemos P’(x) = 0 que serán los posibles máximos o mínimos (con P’’(x) veremos si es máximo o mínimo).
P(x) = x4 – 20x3 + 100x2.
P’(x) = 4x3 – 60x2 + 200x.
P’(x) = 0, da 4x3 – 60x2 + 200x = 0 = x(4x2 – 60x + 200) = 0, de donde x = 0 y 4x2 – 60x + 200 =0. Simplificando x2 – 15x + 50 = 0. Al resolverla sale x = 10 y x = 5.
Los posibles máximos o mínimos son 0, 5 y 10.
P’’(x) = 12x2 – 120x + 200
Como P’’(0) = 200 > 0, x = 0 es un mínimo relativo.
Como P’’(10) = 200 > 0, x = 10 es un mínimo relativo.
Como P’’(5) = – 100 < 0, x = 5 es un máximo relativo.
Los números son x = 5 e y = 10 – 5 = 5.