Ejercicio nº 1 de la opción A de septiembre de 2007 Germán Jesús Rubio Luna " g.j.rubio@telefonica.net " Catedrático de Matemóticas del IES Francisco Ayala de Granada
Ejercicio nº 1 de la opción A de septiembre de 2007
Sea f: (0,+∞
) → R
la función definida por 
.
(a) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que alcanzan).
(b) [1 punto] Calcula el punto de inflexión de la gráfica de f.
Solución
Dada , observamos que su dominio son los números x > 0, puesto que el dominio de 
es x ³
0, y al estar en el denominador tenemos que quitar el 0.
(a)
Para estudiar el crecimiento, decrecimiento y los extremos relativos estudiamos la primera derivada f ‘(x)
; 
Si x < 1/3, f ‘(0’2) = -0’4/(+) < 0, f ‘(x) < 0 por tanto f(x) decrece en x < 1/3
Si x > 1/3, f ‘(1) = 2/(+) > 0, f ‘(x) > 0 por tanto f(x) crece en x > 1/3
Por definición x = 1/3 es un mínimo relativo que vale f(1/3) = 
(b)
Para ver los posibles puntos de inflexión estudiamos la segunda derivada f ‘’(x)
; 
De f ‘’(x) = 0, tenemos -3x2 + 3x = 0 y las soluciones son x = 0 y x = 1
x = 0 no vale porque no está en el dominio. Veamos x = 1
Si x < 1, f ‘’(0’5) = > 0, f ‘’(x) > 0 por tanto f(x) es convexa (U) en x < 1
Si x > 1, f ‘’(2) = < 0, f ‘‘(x) < 0 por tanto f(x) es cóncava (∩ ) en x > 1
Por definición x = 1 es un punto de inflexión que vale f(1) = 4