Ejercicio n° 1 de la opción B de septiembre de 2007 Germán Jesús Rubio Luna " g.j.rubio@telefonica.net " Catedrático de Matemóticas del IES Francisco Ayala de Granada
Ejercicio n° 1 de la opción B de septiembre de 2007
[2’5 puntos] Determina una función f: R → R sabiendo que su derivada viene dada por f ‘(x) = x2 + x – 6 y que el valor que alcanza f en su punto máximo (relativo) es el triple del valor que alcanza en su punto mínimo (relativo).
Solución
El teorema fundamental del cálculo integral nos dice que si una función f(x) es continua en un intervalo [a,b], entonces la función 
, con x
En nuestro caso 
.
Vamos a determinar K
Sea "a" el punto donde alcanza el máximo relativo
Sea "b" el punto donde alcanza el mínimo relativo
Leyendo el problema se nos dice que f(a) = 3f(b). [el valor que alcanza f en su punto máximo (relativo) es el triple del valor que alcanza en su punto mínimo (relativo)].
Los extremos relativos están entre las soluciones de f ‘(x) = 0
Si f ‘(m) = 0 y f ‘’(m) < 0, x = m es el máximo relativo
Si f ‘(m) = 0 y f ‘’(m) > 0, x = m es el mínimo relativo
f ‘(x) = x2 + x – 6; f ‘(x) = 0 nos dá x2 + x – 6 = 0. Resolviendo esta ecuación de 2º grado obtenernos como soluciones 2 y -3
f ''(x) = 2x - 1
Como f ‘(2) = 0 y f ‘’(2) = 5 > 0, x = 2 es el mínimo relativo
Como f ‘(-3) = 0 y f ‘’(-3) = -5 < 0, x = -3 es el máximo relativo
En nuestro caso f(a) = 3f(b) es f(-3) = 3.f(2)
f(x) = x3/3 + x2/2 – 6x + K
f(2) = (2)3/3 + (2)2/2 – 6(2) + K = 8/3 – 10 + K
f(-3) = (-3)3/3 + (-3)2/2 – 6(-3) + K = 9 + 9/2 + K
La expresión f(-3) = 3.f(2), se nos convierte en (9 + 9/2 + K) = 3.( 8/3 – 10 + K). Operando y despejando nos resulta K = 71/4, luego la función pedida es f(x) = x3/3 + x2/2 – 6x + 71/4