Sea f: R → R la función definida por f(x) = x|x-2|.

(a) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f en x = 2.

(b) [0’5 puntos] Esboza la gráfica de f.

(c) [1 punto] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas.

;

(a)

x² – 2x es una función continua y derivable en todo R , en particular en x > 2

-x² + 2x es una función continua y derivable en todo R , en particular en x < 2

Veamos la continuidad de f(x) en x = 2, es decir si verifica

f(2) = 0

;

Como , la función f(x) es continua en x = 2, y por tanto en todo R .

Estudiamos ya la derivabilidad de f(x), en particular en x =0

;

Veamos la derivabilidad en x = 2, es decir si f ‘(2 ⁺) = f ‘(2 ^-)

Como f ‘(2 ⁺) ≠ f ‘(2 ^-), f(x) no es derivable en x = 2, por lo cual es derivable en R - {2}

(b)

Si x > 2, f(x) = x² – 2x es una parábola con las ramas hacia arriba y con la abscisa del vértice en la solución de f ‘(x) = 0

f ‘(x) = 2x – 2, f ‘(x) = 0 nos dá x = 1

Un cuadro de valores sería

x f(x) = x² – 2x

1 -1 (fuera de su dominio)

2 0

3 3

Si x < 2, f(x) = –x² + 2x es una parábola con las ramas hacia abajo, y con la abscisa del vértice en la solución de f ‘(x) = 0

f ‘(x) = –2x + 2, f ‘(x) = 0 nos dá x = 1

Un cuadro de valores sería

x f(x) = x² – 2x

1 1

2^- 0

0 0

-1 -3

Un esbozo de la gráfica de la función es

(c)

El área que nos piden es