Sea f: (-1,+ ∞ ) → R la función definida por f(x) = Ln(x+1). (Ln denota la función logaritmo neperiano).

(a) [1 punto] Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0.

(b) [1’5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida en el apartado anterior y la recta x=1.

Solución

(a)

La recta tangente en x = 0 es y – f(0) = f ‘(0)(x – 0)

f(x) = Ln(x+1); f(0) = Ln(1) = 0

f ‘(x) = 1/(x+1); f ‘(0) = 1/1 = 1

Sustituyendo resulta que la recta tangente en x = 0 es y = x, que es la bisectriz del I y III cuadrante.

(b)

La gráfica de Ln(x + 1) es exactamente igual que la de Ln(x) pero desplazada una unidad a la izquierda en el eje de abscisas OX.

Aunque no lo piden un esbozo de las gráficas es

No hacía falta hacer la gráfica pues conociendo la gráfica de Ln(x) se sabe que la recta tangente está por encima.

Vamos ya a calcular el área que nos piden

Calculamos 1º la integral del neperiano, que es por partes.

u = Ln(x+1) de donde du = dx/(x+1)

dv = dx, de donde v = x

. Por tanto

Calculamos ya el área

= ( 1/2 – (Ln(2) – 1 + Ln(2) ) – ( 0 – (0 – 0 + Ln(1) ) = 3/2 – 2Ln(2) u.a.