Germán Jesús Rubio Luna   " g.j.rubio@telefonica.net "    Catedrático de Matemóticas del IES Francisco Ayala de Granada

    Ejercicio n° 3 de la opción B de septiembre de 2007

Considera el sistema de ecuaciones

ax + y + z = 4

x – ay + z = 1

x + y + z = a + 2

(a) [1’5 puntos] Resuélvelo para el valor de a que lo haga compatible indeterminado.

(b) [1 punto] Resuelve el sistema que se obtiene para a = –2.

Solución

ax + y + z = 4

x – ay + z = 1

x + y + z = a + 2

(a)

La matriz de los coeficientes del sistema es y la matriz ampliada .

Calculamos el det(A) = |A|

Resolvemos |A| = 0, es decir (a - 1)( -a - 1) = 0, de donde a = 1 y a = -1

Si a ≠ 1 y a ≠ -1 , tenemos |A| ≠ 0 con lo cual rango(A) = rango(A*) = 3, y por el teorema de Rouche el sistema es compatible y determinado y tiene solución única.

Si a = 1, y

En A como -2 ≠ 0, tenemos rango(A) = 2

En A* como , tenemos rango(A*) = 3

Como rango(A)= 2 ≠ rango(A*) = 3, por el teorema de Rouche el sistema es incompatible y no tiene solución.

Si a = -1, y

En A como -2 ≠ 0, tenemos rango(A) = 2

En A* como tenemos dos filas iguales, tenemos rango(A*) = 2

Como rango(A)= rango(A*) = 2, por el teorema de Rouche el sistema es compatible e indeterminado. Tenemos dos ecuaciones (las dos primeras, con las que hemos calculado el rango de A)y dos incógnitas principales..

Lo resolvemos para a = -1

-x + y + z = 4

x + y + z = 1. Tomamos z = λ

Restamos ambas ecuaciones y tenemos

2x = -3, de donde x = -3/2

y = 1 – x – z = 1 + 3/2 - λ = 5/2 - λ

La solución del sistema es (x, y, z)= ( -3/2, 5/2 - λ , λ ) con λ ∈ R

(b)

Resolvemos el sistema para a = -2.

Nuestro sistema es

-2x + y + z = 4

x + 2y + z = 1

x + y + z = 0

A la 2ª le resto la 3ª, y a la 1ª le sumo la 3ª multiplicada por 2, con lo cual nos queda

3y + 3z = 4

y = 1

x + y + z = 0

Con y = 1 entrando en la 1ª tenemos z = 1/3.

Con y = 1 y z = 1/3, entrando en la 3ª tenemos x = -4/3

La solución del sistema es (x, y, z) = ( -4/3, 1, 1/3)

También se puede hacer por Cramer

Y como vemos se obtiene la misma solución (x,y,z) = ( -4/3, 1, 1/3) cuando a = -2.