Germán Jesús Rubio Luna   " g.j.rubio@telefonica.net "    Catedrático de Matemóticas del IES Francisco Ayala de Granada

    Ejercicio n° 4 de la opción A de septiembre de 2007

(a) [1’25 puntos] Halla los dos puntos que dividen al segmento de extremos A(1,2,1) y B(-1,0,3) en tres partes iguales.

(b) [1’25 puntos] Determina la ecuación del plano perpendicular al segmento AB que pasa por su punto medio

Solución

(a)

A(1,2,1) y B(-1,0,3)

Observamos la siguiente igualdad entre vectores AB = 3AM

AB = (-2,-2,2)

AM = (x-1,y-2,z-1)

De AB = 3AM obtenemos (-2,-2,2)= (3x - 3, 3y - 6, 3z - 3), e igualando miembro a miembro se tiene x = 1/3, y = 4/3 y z = 5/3, es decir el punto M es M(x,y,z) = M(1/3,4/3,5/3)

También se observa que el punto N es el punto medio del segmento MB, es decir

N(x,y,z)= N( (1/3 -1)/2, (4/3 + 0)/2, (5/3 + 3)/2 ) = N(-1/3,2/3,7/3)

(b)

A(1,2,1), B(-1,0,3) y Z como es el punto medio, es Z(0,1,2)

El plano pedido pasa por el punto Z(0,1,2) y tiene como vector normal el AB = (-2,-2,2)

La determinación normal del plano es AB•(x – z) = 0, siendo • el producto escalar, es decir

(-2,-2,2)•(x – 0, y – 1, z – 2) = -2x – 2y + 2 + 2z – 4 = -2x -2y + 2z – 2 = 0. Simplificando el plano pedido es π ≡ x + y – z + 1 = 0