Germán Jesús Rubio Luna   " g.j.rubio@telefonica.net "    Catedrático de Matemóticas del IES Francisco Ayala de Granada

    Ejercicio n° 4 de la opción B de septiembre de 2007

Considera los vectores u = (1,1,m), v = (0,m,-1) y w = (1,2m,0).

(a) [1’25 puntos] Determina el valor de m para que los vectores u, v y w sean linealmente dependientes.

(b) [1’25 puntos] Para el valor de m obtenido en el apartado anterior, expresa el vector w como combinación lineal de los vectores u y v.

Solución

(a)

u = (1,1,m), v = (0,m,-1) y w = (1,2m,0).

Para que los vectores sean linealmente dependientes su determinante tiene que ser 0, es decir:

det(u , v , w ) =

Resolviendo –m2 + 2m – 1 = 0, obtenemos m = 1 (doble), con lo cual para que sean linealmente dependientes los vectores son u = (1,1,1), v = (0,1,-1) y w = (1,2,0).

(b)

Para expresar w como combinación lineal de u y v tenemos que calcular a y b de la expresión w = a.u + b.v, resolviendo el sistema que nos sale.

(1,2,0). = a(1,1,1) + b(0,1,-1) = (a, a + b, a – b). Igualando obtenemos a = 1 y b = 1, por tanto la relación de dependencia es w = 1.u + 1.v.

Esto es la forma normal de hacerlo, pero nos podríamos haber dado cuenta de que sumando el vector u con el vector v nos daba el vector w y habríamos terminado.