Germán Jesús Rubio Luna   " g.j.rubio@telefonica.net " Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala de Granada

    Ejercicio 1 de la Opción B del modelo 4 de 2008

Sea la función f : [0, 4] ® R definida por

(a) [2 puntos] Determina a, b y c sabiendo que f es continua en el intervalo cerrado [0, 4], derivable en el intervalo abierto (0, 4) y que f(0) = f(4).

(b) [0’5 puntos] żEn qué punto del intervalo se anula la derivada de la función?

Solución

(a)

Como f(x) es continua en [0, 4], es continua en x = 2, es decir.

Igualando tenemos la ecuación 2c + 1 = 4 + 2a + b

Como es derivable en (0,4), es derivable x = 2, luego f ‘(2 +) = f ‘(2 -)

Igualando tenemos la ecuación 4 + a = c

Como f(0) = f(4), tenemos b = 4c + 1

Resolviendo el sistema , obtenemos a = - 3, b = 5 y c = 1, por tanto la función pedida es

y su derivada

(b)

Veamos donde f ‘(x) = 0, es decir 2x – 3 = 0, de donde x = 3/2.

Lo que nos han preguntado es que se calcule los valores de a, b y c para que f(x) verifique el Teorema de Rolle y el punto donde lo cumple.