Germán Jesús Rubio Luna " g.j.rubio@telefonica.net " Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala de Granada
Sea la función f : [0, 4] ® R definida por
(a) [2 puntos] Determina a, b y c sabiendo que f es continua en el intervalo cerrado [0, 4], derivable en el intervalo abierto (0, 4) y que f(0) = f(4).
(b) [0’5 puntos] żEn qué punto del intervalo se anula la derivada de la función?
Solución
(a)
Como f(x) es continua en [0, 4], es continua en x = 2, es decir.
Igualando tenemos la ecuación 2c + 1 = 4 + 2a + b
Como es derivable en (0,4), es derivable x = 2, luego f ‘(2 +) = f ‘(2 -)
Igualando tenemos la ecuación 4 + a = c
Como f(0) = f(4), tenemos b = 4c + 1
Resolviendo el sistema , obtenemos a = - 3, b = 5 y c = 1, por tanto la función pedida es
y su derivada
(b)
Veamos donde f ‘(x) = 0, es decir 2x – 3 = 0, de donde x = 3/2.
Lo que nos han preguntado es que se calcule los valores de a, b y c para que f(x) verifique el Teorema de Rolle y el punto donde lo cumple.