Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 5 de 2008 Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 5 de 2008
Sea f : [0, 2π] ® R la función definida por f(x)= ex(sen x + cos x).
(a) [1’25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.
(b) [1’25 puntos] Calcula los puntos de inflexión de la gráfica de f.
Solución
(a)
f(x)= ex(sen x + cos x).
Estudiamos el signo de f ‘(x) es el intervalo [0, 2
π]f ‘(x)= ex(sen x + cos x) + ex(cos x - sen x) = ex(2cos(x)) = 2ex(cos(x))
De f ‘(x) = 0, obtenemos cos(x) = 0, porque la exponencial no se anula nunca.
Las soluciones de cos(x) = 0 en [0, 2π] son x = π/2 y x = 3π/2.
Como f ‘(π/2 ) = 2eπ /4cos(π /4)
≈ 3’1 > 0, f(x) estrictamente creciente en (0, π/2)Como f ‘(π ) = 2eπ cos(π ) ≈ -46’28 < 0, f(x) estrictamente decreciente en (π/2, 3π/2)
Como f ‘(2π - π /6 ) = f ‘(11π /6 ) = 2e11π /6cos(11π /6) ≈ 549’43 > 0, f(x) estrictamente creciente en (3π /2, 2π )
Por definición x = π/2 es un máximo relativo y x = 3π/2 es un mínimo relativo
(b)
Para ver los puntos de inflexión calculamos las soluciones de f ‘’(x) = 0, y vemos que f ‘’(x) cambia de signo a izquierda y derecha de ellos.
f(x)= ex(sen x + cos x).
f ‘(x)= 2ex(cos(x))
f ‘’(x)= 2ex(cos(x)) + 2ex(-sen(x)) = 2ex(cos(x) – sen(x))
De f ‘’(x) = 0, tenemos cos(x) – sen(x) = 0, es decir sen(x) = cos(x). En el intervalo [0, 2π] esto es cierto en x = π/4 y x =π+π/4=π /4, que serán los posibles puntos de inflexión.
Como f ‘’(π /6) > 0 y f ‘’(π /2) < 0 , x = π /4 es punto de inflexión.
Como f ‘’(π/2) < 0 y f ‘’(π + π /3) > 0 , x = π + π /4 es punto de inflexión.