Ejercicio 1 de la Opción B del modelo 5 de 2008 Ejercicio 1 de la Opción B del modelo 5 de 2008
Sea f : R ®
R la función definida por 
(a) [0’75 puntos] Esboza la gráfica de f.
(b) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f.
(c) [0’75 puntos] Calcula el área comprendida entre la gráfica de f y el eje de abscisas.
Solución
(a)
Como
, tenemos 
La gráfica de x2 es la de una parábola con vértice en (0,0) y las ramas hacia arriba. Sólo se dibuja en [0,2].
La gráfica de - x2 es la igual que la de x2 pero simétrica respecto al eje OX. Sólo se dibuja en (-¥ ,0).
La gráfica de 6 – x es la de una recta, con dos puntos es suficiente para caberlo. Sólo se dibuja en (0, ¥ ).
La función x|x| es continua en  , en particular en x < 2
La función 6 – x es continua en  , en particular en x > 2.
Veamos la continuidad en x = 2, es decir que
.
Un esbozo de la gráfica es
(b)
De la gráfica se observa que la función no es derivable en x = 2, no obstante vamos a comprobarlo
; 
En principio f es derivable R - {0,2}. Estudiamos la derivada en x = 0 y x = 2.
f(x) derivable en x = 0, se verifica que f ‘(0 +) = f ‘(0 -)
Como f ‘(0 +) = f ‘(0 -) = 0, f es derivable en x = 0
f(x) derivable en x = 2, se verifica que f ‘(2 +) = f ‘(2 -)
Como f ‘(2 +)
≠ f ‘(2 -) = 0, f no es derivable en x = 2La función derivada es 
(c)
Viendo la gráfica el área pedida es
(8/3) + (36 - 18) – (12 – 2) = 32/3 u2.