Ejercicio 4 de la Opción A del modelo 5 de 2008
Se sabe que los planos de ecuaciones x +2y + bz = 1, 2x + y + bz = 0, 3x +3y − 2z = 1 se cortan en una recta r.
(a) [1’25 puntos] Calcula el valor de b.
(b) [1’25 puntos] Halla unas ecuaciones paramétricas de r.
Solución
(a)
Si los planos se cortan en una recta nos piden que estudiemos el valor de b para que el sistema
x +2y + bz = 1,
2x + y + bz = 0,
3x +3y − 2z = 1
tenga infinitas soluciones con rango(A) = rango(A*) = 2, siendo A la matriz de los coeficientes y A* la matriz ampliada de dicho sistema.
La matriz de los coeficientes del sistema es 
y la matriz ampliada 
.
En nuestro caso es suficiente con que det(A) = 0
det(A) = |A| =
= 1(6 + 9b – 3b) = 6 + 6b = 0, de donde b = -1.
(b)
Para la ecuación de la recta tomo las dos últimas ecuaciones
2x + y + bz = 0,
3x +3y − 2z = 1
con b = -1, es decir la recta es
2x + y − z = 0,
3x +3y − 2z = 1
Como me piden las ecuaciones paramétrica tomo z = λ ∈ R , con lo cual
2x + y = λ ,
3x +3y = 1 + 2λ .
Sumándole la 1ª multiplicada por (- 3) tenemos – 3x = 1 - λ , de donde x = (– 1/3) + (1/3)λ . Sustituyendo este valor de x en la 1ª ecuación nos resulta y = (2/3) + (1/3)λ .
La recta en paramétricas es:
x = (– 1/3) + (1/3)λ .
y = (2/3) + (1/3)λ .
z = λ , con λ ∈ R ,