Ejercicio n° 4 de la opción B del modelo 5 de 2008

Germán Jesús Rubio Luna " g.j.rubio@telefonica.net " Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala de Granada Ejercicio 4 de la Opción B del modelo 5 de 2008

[2’5 puntos] Dados los puntos A(2, 1, −1) y B(−2, 3, 1) y la recta "r" definida por las ecuaciones , halla las coordenadas de un punto de la recta "r" que equidiste de los puntos A y B.

Solución

A(2, 1, −1) y B(−2, 3, 1)

Ponemos la recta en paramétricas, tomamos un punto genérico suyo, el X, y le imponemos la condición d(AX)=d(BX)

Para la recta en paramétricas, tomamos z = λ ∈ R . Entrando en la ecuación segunda 3x – 2z = - 5, obtenemos x = (-5/3) + (2/3)λ . Sustituyendo en la primera x – y – z = - 1, el valor de x y de z, obtenemos y = (-2/3) – (1/3)λ

La recta en paramétricas es

x = (-5/3) + (2/3)l

y = (-2/3) – (1/3)l

z = λ ∈ R .

Un punto genérico suyo es X((-5/3) + (2/3)λ , (-2/3) – (1/3)λ , λ )

AX = ( (2/3)λ – 11/3 , (–1/3)λ – 5/3, λ + 1 )

BX = ( (2/3)λ + 1/3 , (–1/3)λ – 11/3, λ – 1 )

;

Igualando, elevando al cuadrado y desarrollando obtenemos

(14/9)λ² – (16/9)λ + (155/9) = (14/9)λ² + (8/9)λ + (131/9), de donde (24/9)λ = 24/9, y por tanto λ = 1, y el punto equidistante de la recta es X((-5/3) + (2/3)1, (-2/3) – (1/3)1, 1 ) = X(-1, -1, 1)