Examen modelo 5 de sobrantes de 2008

Germán Jesús Rubio Luna   " g.j.rubio@telefonica.net " Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala de Granada

Instrucciones

a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o bien realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B.

c) La puntuación de cada pregunta está indicada en las mismas.

d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.

e) Puedes usar calculadora científica (no programables, sin pantalla gráfica y sin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos), pero todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

Modelo 5 de sobrantes de 2008 - Opción A

Ejercicio 1. Sea f : [0, 2π] ® R la función definida por f(x)= ex(sen x + cos x).

(a) [1’25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

(b) [1’25 puntos] Calcula los puntos de inflexión de la gráfica de f.

 

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Sean f : R ® R y g : R ® R las funciones dadas por

f(x) = x2 y g(x) = a (con a > 0)

Se sabe que el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f y g es 4/3. Calcula el valor de la constante a.

Ejercicio 3. [2’5 puntos] Sea I la matriz identidad de orden 3   y   . Calcula, si existe, el valor de k para el cual (A − kI)2 es la matriz nula.

Ejercicio 4.- Se sabe que los planos de ecuaciones x +2y + bz = 1, 2x + y + bz = 0, 3x +3y − 2z = 1 se cortan en una recta r.

(a) [1’25 puntos] Calcula el valor de b.

(b) [1’25 puntos] Halla unas ecuaciones paramétricas de r.

Modelo 5 de sobrantes de 2008 - Opción B

Ejercicio 1. Sea f : R ® R la función definida por

(a) [0’75 puntos] Esboza la gráfica de f.

(b) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f.

(c) [0’75 puntos] Calcula el área comprendida entre la gráfica de f y el eje de abscisas.

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Calcula (ln denota la función logaritmo neperiano).

Ejercicio 3. Dadas las matrices y

(a) [1 punto] Calcula, si existen, la matriz inversa de A y la de B.

(b) [1’5 puntos] Resuelve la ecuación matricial AX + B = A + I, donde I denota la matriz identidad de orden 3.

Ejercicio 4.  [2’5 puntos] Dados los puntos A(2, 1, −1) y B(−2, 3, 1) y la recta "r" definida por las ecuaciones , halla las coordenadas de un punto de la recta "r" que equidiste de los puntos A y B.