Ejercicio n° 2 de la opción
B de junio de 2008
Ejercicio n° 2 de la opción
B de junio de 2008
Sea f : R → R la función definida por f(x) = e -2x
(a) [1 punto] Justifica que la recta de ecuación y = -2ex es la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = -1/2.
(b) [1’5 puntos] Calcula el área el recinto limitado por la gráfica e f, el eje de ordenadas y la recta tangente del apartado anterior.
Solución
f(x) = e -2x
a)
La recta tangente a a la gráfica de f en el punto de abscisa x = -1/2 es y – f(-1/2) = f’(-1/2)(x + 1/2). Tenemos que ver que es y = -2ex
f(x) = e -2x , de donde f(-1/2) = e1 = e
f’(x) = e -2x(-2), de donde f’(-1/2) = e1(-2) = -2e
La recta tangente es y – e = -2e(x + 1/2) = -2ex – e, de donde y = -2ex como me habían dicho
b)
La gráfica de f(x) = e -2x es exactamente igual que la de f(x) = e 2x pero simétrica respecto al eje OY. Aunque no lo piden, un esbozo de las gráficas es
El área pedida es
= ( e0(-1/2) + 0 ) – ( e1(-1/2) + 2(-1/2)2 ) = ( e/4 – 1/2 ) u2