Ejercicio n° 3 de la opción A de septiembre de 2008 Ejercicio n° 3 de la opción A de septiembre de 2008
Considera el siguiente sistema de ecuaciones
x + y + z = a - 1
2x + y + az = a
x + ay + z = 1
(a) [1’5 puntos] Discútelo según los valores del parámetro a.
(b) [1 punto] Resuelve el caso a = 2.
Solución
x + y + z = a - 1
2x + y + az = a
x + ay + z = 1
(a)
La matriz de los coeficientes del sistema es 
y la matriz ampliada 
.
Si det(A) = |A| ¹ 0, rango(A) = rango(A*) = 3. El sistema es compatible y determinado y tiene solución única.
Resolvemos |A| = 0, es decir (a - 2)(a - 1) = 0, de donde a = 1 y a = 2
Si a ≠ 1 y a ≠ 2 , tenemos |A| ≠ 0 con lo cual rango(A) = rango(A*) = 3, y por el teorema de Rouche el sistema es compatible y determinado y tiene solución única.
Si a = 1, 
y 
En A como 
-1 ≠ 0, tenemos rango(A) = 2
En A* como 
, tenemos rango(A*) = 3
Como rango(A)= 2 ≠ rango(A*) = 3, por el teorema de Rouche el sistema es incompatible y no tiene solución.
(b)
Si a = 2, 
y 
En A como -1 ≠ 0, tenemos rango(A) = 2
En A* como 
, porque dos columnas son iguales, tenemos rango(A*) = 2
Como rango(A)= rango(A*) = 2, por el teorema de Rouche el sistema es compatible e indeterminado. Tenemos dos ecuaciones (las dos primeras, con las que hemos calculado el rango de A) y dos incógnitas principales..
x + y + z = 1
2x + y + 2z = 2. Tomamos z = λ
∈ RRestamos ambas ecuaciones y tenemos
x = 1 –
λ . Sustituyendo en x + y + z = 1, nos resulta y = 0.La solución del sistema es (x, y, z)= (1 –
λ , 0, λ ) con λ ∈ R