Sean F₁, F₂ , F₃ , las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz B de orden 3, cuyo determinante vale -2. Calcula, indicando las propiedades que utilices:

(a) [0'5 puntos] El determinante de B ^-1.

(b) [0'5 puntos] El determinante de (B ^t)⁴ (B^t es la matriz traspuesta de B).

(c) [0'5 puntos] El determinante de 2B.

(d) [1 punto] El determinante de una matriz cuadrada cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 5F₁ - F₃, 3F₃, F₂.

B = ( F₁, F₂ , F₃) con det (B) = - 2.

(a)

El determinante de B ^-1.

Como B.B^-1 = I₃, entonces | B.B^-1| = |I₃| = (vii) =1 = (vi) = |B|.|B^-1| = -2.IB^-1|, por tanto |B^-1| = -1/2

(b)

Determinante de (B ^t)⁴ (B^t es la matriz traspuesta de B).

det((B ^t)⁴ ) = (viii) = det (B ⁴) = (vi) =det(B).det(B).det(B).det(B) = (-2)⁴ = 16

(c)

El determinante de 2B.

2B = 2.(F₁, F₂ , F₃) = (2F₁, 2F₂ , 2F₃), luego

det(B) = det(2F₁, 2F₂ , 2F₃) = (ii) = 2.2.2.det(F₁, F₂ , F₃) = 8.(-2) = -16,

(d)

El determinante de la matriz cuadrada cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 5F₁ - F₃, 3F₃, F₂.

det(5F₁ - F₃, 3F₃ , F₂) = (iii) = det(5F₁, 3F₃ , F₂) + det( - F₃, 3F₃ , F₂) = (ii y iv) =

= 5.3.det(F₁, F₃ , F₂) + 0 = (i) = -15. det(F₁, F₂ , F₃) = (-15).(-2) = 30.

Propiedades utilizadas

(i) Si cambiamos entre sí dos filas el determinante cambia de signo.

(ii) Si una fila está multiplicada por un número dicho número puede salir fuera del determinante factor común multiplicando al determinante.

(iii) Si una fila de un determinante es suma de dos sumandos dicho determinante es igual a la suma de dos determinantes colocando en dicha fila el primer y segundo sumando respectivamente.

(iv) Si un determinante tiene dos filas iguales o proporcionales el determinante es cero

(v) Si una fila está multiplicada por un número dicho número puede salir fuera del determinante como factor común, multiplicando al determinante.

(vi) El determinante de un producto de matrices cuadradas es igual al producto del los determinantes de dichas matices

(vii) El determinante de la matriz identidad vale 1.

(viii) El determinante de una matriz es igual al determinante de su matriz traspuesta.

Sea f : R → R la función definida por

(a) [0'75 puntos] Estudia su continuidad y derivabilidad.

(b) [1'25 puntos] Determina sus asíntotas y sus extremos relativos.

(c) [0'5 puntos] Esboza la gráfica de f.

(a)

Estudia su continuidad y derivabilidad de .

1/(x-1) es continua y derivable en R-{1}, en particular en x < 0

x² – 3x – 1 es continua y derivable en R, en particular en x > 0

Falta estudiar continuidad y derivabilidad en x = 0

f(x) es continua en x = 0 si f(0) = lim _{x → 0+} f(x) = lim _{x → 0-} f(x)

f(0) = lim _{x → 0+} f(x) = lim _{x → 0+} (x² – 3x – 1) = –1.

lim _{x → 0-} f(x) = lim _{x → 0-} (1/(x-1) ) = –1.

Por tanto f(x) es continua en x = 0.

f(x) es derivable en x = 0 si f ‘(0 ^-) = f ‘(0 ⁺)

;    

f ‘(0 ^-) = lim _{x → 0-} f ‘(x) = lim _{x → 0-} ( -1/(x-1)² ) = -1

f ‘(0 ⁺) = lim _{x → 0+} f ‘(x) = lim _{x → 0+} (2x - 3) = -3, como f ‘(0 ^-) ≠ f ‘(0 ⁺) , no existe f‘(0).

(b)

Determina sus asíntotas y sus extremos relativos.

Si x < 0, f(x) = 1/(x-1) cuya gráfica es una hipérbola, que no tiene ni máximos ni mínimo porque su 1ª derivada no se anula nunca, con una asíntota vertical en x = 1 (no está en su dominio) y una asíntota horizontal en y = 0 porque

lim _{x → - ∞} f(x) = lim _{x→ - ∞} [1/(x-1) ] = 0

Le damos unos cuantos valores

x        f(x) = 1/(x – 1)

0           -1

-1          -0’5

-2          -1/3

Si x > 0, f(x) = x² – 3x – 1 cuya gráfica es una parábola con las ramas hacia arriba (el nº que multiplica a x² es > 0 ), que no tiene asíntotas y tiene un mínimo relativo ( es el vértice de la parábola) que vamos a calcular

f(x) = x² – 3x – 1

f ‘(x) = 2x – 3, de donde 2x – 3 = 0 y x = 3/2 = 1’5, que es el mínimo porque f ‘’(x)=2>0, y vale f(3/2) = (3/2)² – 3(3/2) – 1 =

= 9/4 – 9/2 – 1 = -13/4 = -3’25

Le damos unos cuantos valores a izquierda y derecha del vértice

x       f(x) = x² – 3x – 1

0          -1

1          -3

1’5       -3’25   Este es el vértice

2          -3

3          -1

(c)

Un esbozo de la gráfica es (el trozo de parábola en azul)

[2'5 puntos] Una empresa envasadora ha comprado un total de 1500 cajas de pescado en tres mercados diferentes, a un precio por caja de 30, 20 y 40 euros respectivamente. El coste total de la operación ha sido de 40500 euros. Calcula cuánto ha pagado la empresa en cada mercado, sabiendo que en el primero de ellos se ha comprado el 30 % de las cajas.

x cajas de 30 euros

y cajas de 20 euros

z cajas de 40 euros

Relaciones

x + y + z = 1500

30x + 20y + 40z = 40500, dividiendo por 10 tenemos, 3x + 2y + 4z = 4050

x = 30% de 1500 = (1500).(30/100) = 450. Luego nos queda

y + z = 1500 – 450 = 1050

2y + 4z = 4050- 3(450) = 2700. F₂ – 2F₁, nos da 2z = 2700 – 2.(1050) = 600, de donde