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Instrucciones |
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a) Duración: 1 hora Y 30 minutos b) Debes elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o bien realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B c) La puntuación de cada pregunta está indicada en las mismas. c) Contesta de forma razonada, escribe ordenadamente y con letra clara. d) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. |
Sobrantes 2010 Modelo 1- Opción A |
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Ejercicio 1. [2’5 puntos] Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima.
Ejercicio 2. [2’5 puntos] Sea f :(−2, +∞) → R la función definida por f(x) = ln(x + 2). Halla una primitiva F de f que verifique F(0) = 0. (ln denota el logaritmo neperiano) Ejercicio 3. Considera el sistema
3x − 2y + z = 5 2x − 3y + z = −4 (a) [1’5 puntos] Calcula razonadamente un valor de λ para que el sistema resultante al añadirle la ecuación x + y + λz = 9 sea compatible indeterminado. (b) [1 punto] ¿Existe algún valor de λ para el cual el sistema resultante no tiene solución?
Ejercicio 4. Considera los puntos A(1, 0, 2), B(−1, 2, 4) y la recta r definida por (x + 2)/2 = y – 1 = (z – 1)/3 (a) [1’5 puntos] Determina la ecuación del plano formado por los puntos que equidistan de A y de B. (b) [1 punto] Halla la ecuación del plano paralelo a r y que contiene los puntos A y B. |
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Sobrantes 2010 Modelo 1-Opción B |
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Ejercicio 1. Sea f : (0, +∞) → R la función definida por f(x) = ln(x2 +3x), donde ln denota el logaritmo neperiano. (a) [1’5 puntos] Determina, si existen, los puntos de la gráfica de f en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta de ecuación x − 2y +1 = 0. (b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x=3. Ejercicio 2. [2’5 puntos] Calcula el valor de a > 0 sabiendo que el área del recinto comprendido entre la parábola y = x2 + ax y la recta y + x = 0 vale 36 unidades cuadradas. Ejercicio 3. Considera las matrices A = (a) [0’5 puntos] Determina los valores de α para los que A tiene inversa. (b) [1’25 puntos] Calcula la inversa de A para α = 1. (c) [0’75 puntos] Resuelve, para α = 1, el sistema de ecuaciones AX = B. Ejercicio 4. Considera los puntos A(1, 1, 1), B(0, −2, 2), C(−1, 0, 2) y D(2, −1, 2). (a) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D. (b) [1’5 puntos] Determina la ecuación de la recta que pasa por D y es perpendicular al plano que contiene a los puntos A, B y C. |
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y B = 