Ejercicio nº
1 de la opción A del modelo 2 del libro 96_97
[2'5 PUNTOS]. La línea recta que pasa por los puntos (0, -6) y (1, 0) (mira el dibujo) es la gráfica de la función derivada segunda f '' de una cierta función f : R → R. Se sabe que el origen pertenece a la curva y = f(x) y que en ese punto la recta tangente tiene pendiente igual a 3. Determina una expresión de la función f .
Solución
Vamos a calcular la expresión de f ''(x) = ax + b puesto que me dicen que es una recta
y = ax + b y pasa por (0,-6) y (1,0).
Como pasa por (0,-6) → - 6 = b
Como pasa por (1,0) → 0 = a + (-6) → a = 6
Por tanto f ''(x) = ax + b = 6x - 6
Como f(x) pasa por el origen tengo que f(0) = 0
Como en dicho punto, es decir el origen, la recta tangente tiene pendiente igual a 3 tengo que f '(0) = 3
Por el Teorema fundamental del calculo integral que dice: Si f(x) es una función continua entonces la función F(x) = 
f(t) dt es derivable y su derivada es F '(x) = f(x). En mi caso particular f '(x) =
f '(x) =∫ f ''(x) dx = ∫ (6x-6) dx = 3x2 - 6x + K
f '(x) = 3x2 - 6x + K , de f '(0) = 3 tenemos 3 = 0+0+K → K = 3
Luego f '(x) = 3x2 - 6x + K = 3x2 - 6x + 3
Por el Teorema fundamental del calculo integral de nuevo
f(x) = ∫ f '(x) dx = ∫ (3x2 - 6x + 3) dx = x3 - 3x2 + 3x + L
f(x) = x3 - 3x2 + 3x + L, de f(0) = 0 tenemos 0 = 0-0+0+L → L = 0
Luego la función pedida es f(x) = x3 - 3x2 + 3x + L = x3 - 3x2 + 3x