Ejercicio nº
4 de la opción A del modelo 2 del libro 96_97
De una matriz cuadrada de orden 3 se sabe que su determinante vale 4.
(1) [0'5 PUNTOS]. Explica cuánto vale el determinante de la matriz 3A.
(2) [1 PUNTO]. Si B es la matriz inversa de A, explica cuánto vale el determinante de B.
(3)[1PUN'1O]. Al
aplicar el método de eliminación de Gauss a la
matriz A, al final del proceso obtenemos, sin que haya habido
intercambio de filas ni de columnas: la matriz
¿Cuánto
vale α ? Justifica la respuesta.
Solución
(1) Por las propiedades de los determinantes (si un numero multiplica a una fila o a una columna de un determinante dicho número sale multiplicando a dicho determinante) si una matriz cuadrada A es de orden n entonces |k.A| = kn.|A|.
En nuestro caso |3A| = 33.|A| = 27.4 = 108, puesto que A es de orden 3.
(2) Si B es la inversa de A, A.B = I → |A.B| = |I| = 1 = |A|.|B|, puesto que el determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.
De 1 = |A|.|B|, tenemos |B| = 1 /|A| = 1/4
(3) Cuando se aplica el método de eliminación de Gauss sin que haya habido intercambio de filas ni de columnas, el valor del determinante de la matriz no varía coincide con el de la original, por tanto
|A| = 4 =
= 2.2.α
= 4α
, puesto que el determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.
De 4 = 4α obtenemos α = 4/4 = 1