Ejercicio nº
1 de la opción B del modelo 2 del libro 96_97
[2'5 PUNTOS]. En las páginas de un libro ha de imprimirse un texto que ocupa 200 cm2. Los márgenes laterales han de ser de 4 cm. y los márgenes superior e inferior de 6 cm. cada uno. Calcula las dimensiones de cada página para que la cantidad de papel necesario sea mínima.
Solución
La función a optimizar es P = (x + 8)(y + 12)
Relación 200 m2 = xy, de donde y = 200/x, con lo cual
P = (x + 8)(y + 12) = (x + 8)(200/x + 12) = 12x + 1600/x + 296
Le aplicamos la técnica de máximos o mínimos
P '(x) = 12 - 1600/(x2)
P '(x) = 0 → 12 - 1600/(x2) = 0 → 12 = 1600/(x2) → x2 = 1600/12 = 400/3
x = ± √(400/3) = + 20/(√3) (solo vale la solución positiva pues son distancias.
x = 20/(√3) es el posible máximo o mínimo. Entramos en la 2ª derivada para ver que es
P ''(x) = -1600(-2)/x3 = 3200/x3
P ''[20/(√3)] = 3200/[20/(√3)]3 > 0, luego x = 20/(√3) es un mínimo
y = 200/x = 200/[20/(√3)] = 10.(√3)
Las dimensiones de la página son largo = 10.(√3) + 12 y ancho = 20/(√3) + 8, para que el gasto de papel sea mínimo.