Ejercicio nº
2 de la opción B del modelo 2 del libro 96_97
[2'5 PUNTOS]. Calcula el área de la región rayada en la figura y justifica el procedimiento empleado {Ln(x) es el logaritmo neperiano de x.)
Solución
Por la propiedades de Ln(x) sabemos que pasa por (0,1), y el rectángulo tiene de altura Ln(3)
El área pedida es el área del rectángulo de base 3 y altura Ln(3) menos el área encerrada por Ln(x) entere 1 y 3, luego:
Área = 3.Ln(3) - 
Ln(x) dx = 3.Ln(3) - [x.Ln(x) - x ]31 =
= 3.Ln(3) - [(3.Ln(3) - 3) - (1.Ln(1) - 1) ] = 3 - 1 = 2 u.a.
Calculamos
∫ Ln(x) dx, que es una integral por partes (∫ u.dv = u.v - ∫ v.du)u = Ln(x) → du = (1/x).dx
dv = dx → v = ò dx = x
∫ Ln(x) dx = x.Ln(x) - ∫ x.(1/x) dx = x.Ln(x) - ∫ dx = x.Ln(x) - x