Ejercicio nº
3 de la opción B del modelo 2 del libro 96_97(1) [1 PUNTO]. Explica brevemente el concepto de independencia lineal de vectores en R3 y enuncia alguna condición equivalente a que tres vectores de R3 sean linealmente independientes.
(2) [1'5 PUNTOS]. Escribe el vector b como combinación lineal de los vectores u, v y w, siendo:
,
,
y
Solución
(1) Tres vectores u, v y w son linealmente independientes en R3 si y solo si la expresión
a.u + b.v + c.w = 0, solamente es cierta si a = b = c = 0, con a, b, c
∈ R .Una condición equivalente para que tres vectores sean independientes en R3 es que su determinante sea distinto de cero, es decir det(u, v, w) ¹ 0
(2) b como combinación lineal de los vectores u, v y w, si b = x.u + y.v + z.w, es decir:
(-1,-7,7) = x.(1,-1,2) + y.(0,2,6) + z.(-1,-1,3) =
= (x - z, -x+2y-z, 2x+6y+3z). Igualando tenemos el sistema
x - z = -1 → x - z = -1 → x - z = -1
-x +2y -z = -7 2ª + 1ª(1) → 0 +2y-2z = -8 → 2y-2z = -8
2x +6y+3z = 7 3ª + 1ª(-2) → 0 +6y+5z = 9 3ª +2ª(-3) → 0+11z= 33
de donde z= 3, y = -1, x = 2 y la relación pedida es
b = 2.u - 1.v + 3.w