Considera los planos de ecuaciones π₁ ≡ x + b y + z = 0, π₂ ≡ 2x - 3y + z - 5 = 0 y π₃ ≡ x + y - 2z -15 = 0.

(1) [1'25 PUNTOS]. Determina b de forma que los tres planos tengan una recta en común.

(2) [1'25 PUNTOS]. Determina si para algún valor de β el plano π₁ es perpendicular a los otros dos planos.

π₁ ≡ x + b y + z = 0,   π₂ ≡  2x - 3y + z - 5 = 0   y   π₃ ≡ x + y - 2z -15 = 0.

Sea M = y M^* = la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada del sistema considerado de los tres planos. Para que los tres planos se corten en una recta rango(M) = rango(M^*) = 2, con lo cual |M| ha de ser cero, pues si no tendría rango 3

|M| = = 10 + 5β

|M| = 0    →   10 + 5β = 0, de donde β = -2 para que los tres planos se corten en una recta.

(2)

π₁ ≡ x + βy + z = 0, con vector normal n₁ = (1, β ,1)

π₂ ≡ 2x - 3y + z - 5 = 0, con vector normal n₂ = (2,-3,1)

π₃ ≡ x + y - 2z -15 = 0, con vector normal n₁ = (1, 1,-2)

Para que π₁ sea perpendicular a π₂ y π₃, su vector normal n₁ ha de ser proporcional al vector producto vectorial de n₂ y n₃ , es decir n₂ x n₃ .

n₂ x n₃ == i(5) -j(-5)+k(5) = (5,5,5)

Para que n₁ = ((1, β ,1), sea proporcional al vector n₂ x n₃ = (5,5,5), 1/5 = β/5 = 1/5. Operando se obtiene β = 1, es decir con este valor el plano π₁ es perpendicular a π₂  y  π₃,