Solucion del modelo 3 del libro 96

Germán Jesús Rubio Luna " g.j.rubio@telefonica.net " Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala de Granada

Ejercicio nº 1 de la opción A del modelo 3 del libro 96_97
[2'5 puntos] Sea f : R → R la función definida por f(x) = x² + 2x + 4. Determina los puntos de la gráfica de f en los que la recta tangente a ésta pasa por el origen de coordenadas y halla las ecuaciones de dichas tangentes.
Solución
Las rectas que pasan por el origen (0,0) son de la forma y = mx donde m es la pendiente. La pendiente de la recta tangente en el punto x = a, es f '(a) La ecuación de la recta tangente en x = a es, y - f(a) = f '(a)(x - a) f(x) = x² + 2x + 4 → f(a) = a² + 2a + 4 f '(x) = 2x + 2 → f '(a) = 2a +2 La recta tangente en x = a es y - (a² + 2a + 4) = (2a +2)(x - a) Como pasa por (0,0) tenemos - (a² + 2a + 4) = (2a +2)(- a) → a² + 2a + 4 = 2a² +2a → a² = 4 de donde a = ± 2 Para a = 2 la recta tangente es y - 12 = 6(x - 2), es decir y = 6x Para a = -2 la recta tangente es y - 4 = (-2)(x - 2), es decir y = -2x