(1)
Para ver la monotonía estudiamos su primera derivada f '(x)
f(x) = (4x2+3x-9)/(x+2)
f(x) = [(8x+3)(x+2) - (4x2+3x-9)(1)]/(x+2)2 = (4x2+16x+15)/( x+2)2
f(x) = 0 →
4x2+16x+15 = 0, pues para que se anule una fracción solo ha de hacerlo el numerador
Resolviendo 4x2+16x+15 = 0 obtenemos x = -5/2 = -2'5 y x = -3/2 = -1'5 que son los posibles máximos o mínimos relativos.
Como f '(-3) = 3/(+) > 0 →
f(x) crece en (- ∞
,-2'5)
Como f '(-2'4) = (-0'36)/(+) < 0 →
f(x) decrece en (-2'5,-1'5)
Como f '(-1) = 3/(+) > 0 →
f(x) crece en (-1'5,+ ∞
)
Por definición en x = -2'5 hay un máximo relativo (porque a su izquierda la
función crece y a su derecha decrece) que vale f(-2'5) = - 17
Por definición en x = -1'5 hay un mínimo relativo (porque a su izquierda la
función decrece y a su derecha crece) que vale f(-1'5) = - 9
f(x) crece en (- ∞
,-2'5) U
(-1'5,+ ∞
) y decrece en (-2'5,-1'5)
(2)
f(x) dx. Calculamos primero la integral indefinida
I = ò
f(x) dx = ò
[(4x2+3x-9)/(x+2)] dx es una integral racional con el numerador de mayor grado que el
denominador, luego hemos de efectuar primero la división: