Sean los puntos P = (1,0,1), Q = (0,1, -3) y R = (0,3,0).

(1) [1'25 puntos]. Calcula el punto P' que es la proyección del punto P sobre la recta que determinan Q y R.

(2) [1'25 puntos]. Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos que equidistan de P y de R.

(1)

La recta r tiene como punto Q(0,1,-3) y como vector director v = QR = (0,2,3) luego su ecuación es

r ≡ x = 0, y = 1+2λ , z = -3+3λ

Calculamos el plano π perpendicular a la recta r por el punto P

Como el plano π es perpendicular a la recta r, el vector normal del plano n coincide con el director de la recta v, n = v = (0,2,3).

La ecuación normal del plano es (x - p)· n = 0 (producto escalar).

p º (x -1).(0) + (y-0).(2) + (z-1).(3) = 0 = 2y + 3z -3 = 0

El punto P' buscado es la intersección de r y π

P ' = r ∩ π    →    2(1+2λ) + 3(-3+3λ) - 3 = 0     →     13λ = 10     →     λ = 10/13

P' (0, 1+2(10/13), -3+3(10/13) ) = P'(0, 33/13, -9/13)

(2)

El lugar geométrico de los puntos que equidistan de P y de R, es el conjunto de puntos X(x,y,z) tales que d(P,X) = d(R,X)

d(P,X) = ||PX|| = Ö [(x-1)² + (y-0)² + (z-1)² ]

PX = (x-1, y-0, z-1)

d(R,X) = ||RX|| = Ö [(x-0)² + (y-3)² + (z-0)² ]

RX = (x-0, y-3, z-0)

Igualando √[(x-1)² + (y)² + (z-1)² ] = √[(x)² + (y-3)² + (z)² ]

Elevamos al cuadrado (se van las raíces) y desarrollando nos queda

x² - 2x + 1 + y² + z² - 2z +1 = x² + y² -6y + 9 + z²

Simplificando y pasando todo a un miembro nos queda

-2x + 6y - 2z - 7 = 0 que es un plano.