Solucion modelo 3 del libro 96

Germán Jesús Rubio Luna " g.j.rubio@telefonica.net " Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala de Granada

Ejercicio nº 1 de la opción B del modelo 3 del libro 96_97
[2'5 puntos] Se desea construir un depósito sin tapa que tenga 2 m³. de volumen. Determina la altura del depósito y el radio de su base para que la cantidad de material empleado en su construcción sea mínima.
Solución
Volumen = 2 Área mínima = A = Área rectángulo + Área circulo = 2πr.h + πr² Relación Volumen = 2 = (área base).(altura) = πr².h → h = 2/(πr²) Área mínima = A = 2πr.h + πr² = 2πr.[ 2/(πr²)] + πr² = 4/r + πr² Le aplicamos la técnica de máximos y mínimos A(r) = 4/r + πr² A '(r) = -4/(r²) + 2πr A '(r) = 0 → -4/(r²) + 2πr = 0 → r³ = 2/π → r = (2/π)^1/3 Veamos que es un mínimo A ''(r) = 8r/(r⁴) + 2π → A ''[(2/π)^1/3] = 8r/[(2/π)^1/3]⁴ + 2π > 0, luego es un mínimo Las dimensiones son r = (2/π)^1/3 , h = 2/(πr²) = 2/(π (2/π)^1/3 )² = 2^1-2/3. π ^{2/3 - 1} = 2^1/3/π ^1/3 = (2/π)^1/3.