Ejercicio nº
2 de la opción B del modelo 3 del libro 96_97
[2'5 puntos] Determina los valores de m para los que el área de la región limitada por la parábola y2 = x, y la recta y = mx es 1.
Solución
La parábola y2 = x da lugar a dos funciones y = ± √(x). Tomamos la positiva y = + √(x)
La recta y = mx pasa por el origen
Hagamos un pequeño gráfico
Área = 
[√(x) - mx] dx = 1 = [x3/2/(3/2) -mx2/2]a0 = (a)3/2/(3/2) -ma2/2 = 1
= (2/3).
- (1/2). ma2 = 1
"a" es la solución de √(x) = mx → x = m2.x2 → 0 = m2.x2 - x = x(m2.x - 1) = 0
De donde x = 0 y x = 1/(m2), por tanto a = 1/(m2),
Entrando en la ecuación (2/3). - (1/2). ma2 = 1 tenemos
(2/3).
- (1/2). m.(1/m2) = 1 = (2/3). - (1/2). (m3)
Se resuelve la ecuación 1 = (2/3). - (1/2). (m3) y se obtienen los valores de m.
1 = (2/3). - (1/2). (m3)
→
= 3/2 + (1/2). (m3) .
Elevamos al cubo y se obtiene
1/(m4) = m9/8 + 9m6/8 + 27m3/8 + 27/8 → 8 = m13 + 9m10 + 27m7 + 27m4
Resolviendo la ecuación 8 = m13 + 9m10 + 27m7 + 27m4 se obtienen 13 soluciones, de las cuales 10 son complejas y tres reales que aproximadamente son m = -1, m = -0'946695 y m = 0'683821, por tanto la que nos interesa a nosotros es m = 0'683821