Ejercicio nº
3 de la opción B del modelo 3 del libro 96_97
(1) [1'5 puntos] Determina el valor de β para el cual los planos cuyas ecuaciones se dan a continuación contienen una misma recta:
x + y = 1,
β y + z = 0,
x + (β +1)y + β z = β + 1.
(2) [1 punto] Halla el punto simétrico del origen de coordenadas respecto de la recta común a la que se refiere el apartado anterior.
Solución
(1)
x + y = 1,
β y + z = 0,
x + (β +1)y + β z = β + 1.
Sea M =
y M* =
la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada.
Para que los tres planos se corten en una recta rango(M) = rango(M*) = 2 para lo cual |M| = 0
0 = |M| =
= - β
+ β2 = β(-1+β
), por tanto β
= 0 y β
= 1 para que los tres planos se puedan cortar en una recta.
Si β = 0
M =
y M* =
En M como 
= 1 ≠
0, rango(M) = 2
En M* como 
= 0 (por tener dos filas iguales), rango(M*) = 2
Luego si β = 0 los tres planos se cortan en una recta que es (elimino la tercera ecuación)
x + y = 1,
+ z = 0.
En paramétricas tomamos y = λ y nos queda r º x = 1 - λ , y = λ , z = 0
Si β = 1
M =
y M* =
En M como 
= 1 ≠
0, rango(M) = 2
En M* como 
= 1
≠
0, rango(M*) = 3
Como rango(M) = 2 ≠ rango(M*) = 3, en este caso no hay recta
(2)
Para hallar el simétrico de O(0,0,0) respecto de la recta r ≡ x = 1 - λ , y = λ , z = 0, calculamos el plano π perpendicular a r por O, determinamos la intersección A de r con π , y A es el punto medio del segmento OO' siendo O' el simétrico buscado
Como π es perpendicular a r, el vector normal n de π coincide con el vector director v de r, n = v = (-1,1,0)
La ecuación normal del plano π es (x - O)· n = 0
π ≡ x.(-1) + y.(1) + z.(0) = -x + y = 0
A = r ∩ π
-(1 - λ) + (λ) = 0 → 2λ = 1 → λ = 1/2
A ( 1 - (1/2), 1/2, 0) = A ( 1/2, 1/2, 0)
Como A es el punto medio del segmento OO'
( 1/2, 1/2, 0) = (x/2, y/2, z/2) de donde x = 1, y = 1 y z = 0, es decir el simétrico buscado es O'(1,1,0)