Ejercicio nº
4 de la opción B del modelo 3 del libro 96_97
[2'5 puntos] Dados los puntos A = (1, 0,0), B =(0, 2,0) y C = (0,0, 3), sean A' el simétrico de A respecto de B, B' el simétrico de B respecto de C y C' el simétrico de C respecto de A. Halla la ecuación del plano que pasa por A' , B' y C'.
Solución
B es el punto medio del segmento AA', siendo A' el simétrico de A respecto de B
(0,2,0) = ( (x+1)/2, y/2, z/2) → x = - 1, y = 4, z = 0 → A'(-1,4,0)
C es el punto medio del segmento BB', siendo B' el simétrico de B respecto de C
(0,0,3) = ( x/2, (y+2)/2, z/2) → x = 0, y = -2, z = 6 → A'(0,-2,6)
A es el punto medio del segmento CC', siendo C' el simétrico de C respecto de A
(1,0,0) = ( x/2, y/2, (z+3)/2) → x = 2, y = 0, z = -3 → A'(2,0,-3)
El plano que pasa por A', B' y C' tiene como punto el A' y como vectores paralelos A'B' y C, es decir como A'B' = (1,-6,6) y A'B' = (3,-4,-3) el plano pedido es
π ≡ det(x-a', A'B', A'C') = | x-a', A'B', A'C'| =
=
= (x+1).(42) - (y-4).(-21) + z.(+14) =
= 42x + 21y +14z - 42 = 0