Ejercicio nº
2 de la opción B del modelo 4 del libro 96_97
La figura siguiente representa la gráfica de una función f : [0, 7]
→ R
Sea F : [0, 7] → R la función definida por F(x) = 
f(t) dt.
(1) [1 punto]. Calcula F(4) y F(7).
(2) [1'5 puntos] .Dibuja la gráfica de F explicando cómo lo haces.
Solución
(1)
f(x) está formada por tres trozos de recta
f(x) = 1 con x
∈ [0,4]f(x) = -x + 5 con x ∈ [4,6] pues ese trozo de segmento es como el de la bisectriz del 2º y 4º cuadrante pero desplazado hacia la derecha en en abscisas 5 unidades
f(x) = - 1 con x ∈ [6,7]
f(x) es continua pues está formada por tres trozos de recta. Solo habría que comprobar la continuidad en el punto x = 4 y x = 6
Continuidad en x = 4
f(4) = 
f(x) = 
f(x)
f(4) = 
f(x) = 
(1) = 1
f(x) = (-x+5) = 1, luego f(x) es continua en x = 4
Continuidad en x = 6
f(6) = 
f(x) = 
f(x)
f(4) = f(x) = (-x+5) = -1
f(x) = (-1) = -1, luego f(x) es continua en x = 6
Por el teorema fundamental del calculo integral con f(x) es continua la función F(x) = f(t) dt es derivable y su derivada es F '(x) = f(x), y además si f(x) > 0, F(x) es el área encerrado por f(x) entre 0 y x, luego:
F(4) = área del rectángulo de base 4 y altura 1 = 4.1 = 4
F(7) = área del rectángulo de base 4 y altura 1 +
+ área triángulo base 1 y altura 1 - área triángulo base 1 y altura -
- área cuadrado de lado 1 = 4 +1/2 - 1/2 - 1 = 3
(2)
Si con x Î [0,4], f(x) = 1 luego F(x) = ∫ 1 dx = x + K en [0,4].
Si con x Î [4,6], f(x) = 1 luego F(x) = ∫ (-x+5) dx = -x2/2 + 5x + M en [4,6].
Si con x Î [6,7], f(x) = -1 luego F(x) = ∫ (-1) dx = -x + N en [6,7].
Como F(x) es derivable, por el teorema fundamental del cálculo integral F(x) es continua, en particular en x = 4 y x = 6, es decir
F(4) = F(x) = F(x) . Sustituyendo
F(4) = (-x2/2 + 5x + M ) = (x + K ) . Sustituyendo x por 4 tenemos
- 8 + 20 + M = 4 + K = F(4) = 4, de donde K = 0, y M = -8
Análogamente
F(6) = 
F(x) = 
F(x) . Sustituyendo
F(6) = (-x + N ) = (-x2/2 + 5x + M) . Sustituyendo x por 6 tenemos
- 6 + N = -18 + 30 - 8, de donde N = 10.
Luego:
F(x) = x en [0,4] ;
F(x) = -x2/2 + 5x -8 en [4,6].
F(x) = -x + 10 en [6,7].
Luego la gráfica de F(x) es
Puesto que F(x) = x en [0,4] y F(x) = -x + 10 en [6,7]. son trozos de recta y F(x) = -x2/2 + 5x -8 en [4,6] es una parábola con las ramas hacia abajo y el vértice en la abscisa F '(x) = 0 = -x + 5, es decir x = 5 y ordenada y = 4/5