Ejercicio nº
3 de la opción A del modelo 5 del libro 96_97
(1) [1'75 puntos]. Determina según los valores del parámetro a cuándo tiene solución el sistema
αx + y + z = α2 ,
αx + (1- α)y + (α -1l)z = α2 ,
αx + y + αz = 2α2 .
(2) [0'75 puntos]. Resuélvelo cuando sea compatible indeterminado.
Solución
(1)
αx + y + z = α2 ,
αx + (1- α)y + (α -1l)z = α2 ,
αx + y + αz = 2α2 .
Sea M = 
y M* = 
la matriz de los
coeficientes y la matriz ampliada.
Para que el sistema tenga solución por el Teorema de Rouche tiene que ser rango(M) = rango(M*)
|M| = 
= α2 - α3 = α2 (1 - α)
|M|
¹ 0 si α ≠ 0 y si α ≠ 1Luego si α ≠ 0 y si α ≠ 1 rango(M) = rango(M*) = 3 y el sistema es compatible y determinado
Si α
= 0M = 
y M* = 
En M como 
= -2
≠ 0,
rango(M) = 2
En M* como 
= 0, rango(M*) = 2
Como rango(M) = rango(M*) = 2, el sistema es compatible e indeterminado. Que es el caso que resolveremos en el apartado (2)
Si α
= 1M = 
y M* = 
En M como 
= -1
≠ 0,
rango(M) = 2
En M* como 
= -1
≠ 0, rango(M*) = 3
Como rango(M) = 2 ≠ rango(M*) = 3, el sistema es incompatible.
(2)
Si α = 0, rango(M) = rango(M*) = 2, el sistema es compatible e indeterminado. Nos quedamos con dos ecuaciones y dos incógnitas
y + z = 0 ,
y - z = 0 ,
Sumando tenemos 2y = 0, de donde y = 0, con lo cual z = 0. x puede tomar cualquier valor, luego la solución del sistema es (x,y,z) = (λ , 0, 0) con λ
∈ R