Examen del modelo 3 del libro 98_99 (Junio 1999)

Instrucciones

Duración: 1 HORA Y 30 MINUTOS

Elige entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o bien únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B, sin mezclar los de una opción con los de la otra. Cada ejercicio vale 2'5 puntos. Contesta las preguntas razonando tus conclusiones; la mera respuesta numérica no vale para obtener la puntuación máxima de cada apartado.

Por favor, escribe de forma ordenada y con letra clara. Se permite el uso de calculadoras.

modelo 3 Junio del libro 98_99 - Opción A

Ejercicio 1. Considera la función f : R → R definida en la forma f(x) = 1 + x|x|.

(1) [1 punto]. Halla la derivada de f.

(2) [0'5 puntos]. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

(3) [1 punto]. Calcula x× f(x) dx .

Ejercicio 2. [2'5 puntos]. De la función f : R → R definida por f (x) = ax³ + bx² + cx + d se sabe que tiene un máximo relativo en x = 1, un punto de inflexión en (0, 0) y que f (x) dx = 5/4. Calcula a, b, c y d.

Ejercicio 3. [2'5 puntos]. Halla el punto del plano de ecuación x - z = 3 que está mas cerca del punto P = (3,1,4) así como la distancia entre el punto P y el plano dado.

Ejercicio 4.- Considera la matriz A = , donde a, b y c son no nulos.

(1) [1 punto] Determina el número de columnas de A que son linealmente independientes.

(2) [1'5 puntos]. Calcula el rango de A y razona si dicha matriz tiene inversa.

modelo 3 Junio del libro 98_99-Opción B

Ejercicio 1. (1) [1 punto]. Dibuja la región limitada por la curva de ecuación y = x(3 - x) y la recta de ecuación y = 2x - 2.

(2) [1'5 puntos]. Halla el área de la región descrita en el apartado anterior.

Ejercicio 2. [2'5 puntos]. Dada la función f : [1, e] → R definida por f(x) = 1/x + Ln(x) (donde Ln(x) es el logaritmo neperiano de x), determina cuál de las rectas tangentes a la gráfica de f tiene la máxima pendiente.

Ejercicio 3. Sean los vectores u = (-1, 2,3), v = (2,5, -2), x = (4,1,3) y z = (4,1, -8).

(1) [1 punto]. ¿Se puede expresar x como combinación lineal de u y v? Si es así, escribe dicha combinación lineal; si no es así, explica por qué.

(2) [1 punto]. ¿Se puede expresar z como combinación lineal de u y v? Si es así, escribe dicha combinación lineal; si no es así, explica por qué.

(3) [0'5 puntos]. ¿Son u, v y z linealmente independientes? Justifica la respuesta.

Ejercicio 4. (1) [2 puntos]. Calcula un punto R de la recta s dada por s ≡ que equidiste de los puntos P = (1, 0, - 1) y Q = (2, 1, 1).

(2) [0'5 puntos]. Calcula el área del triángulo determinado por los puntos P, Q y R.