Ejercicio nº
1 de la opción A del modelo 3 Junio del libro 98_99
Considera la función f : R → R definida en la forma f(x) = 1 + x|x|.
(1) [1 punto]. Halla la derivada de f.
(2) [0'5 puntos]. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.
(3) [1 punto].
Calcula
x×
f(x) dx .
Solución
(1)
f(x) = 1 + x|x| = 
f '(x) =
Veamos si existe f '(0) para lo cual ha de ser f '(0 +) = f ' (0 -
)f '(0 +) = 
f '(x) =
f '(x) =
(2x) = 0
f '(0 -) = 
f '(x) =
f '(x) =(-2x) = 0
Como f '(0 +) = f ' (0 -) = 0, existe f '(0) = 0
(2)
Para estudiar la monotonía estudiamos el comportamiento de f '(x), la cual acabamos de calcular en el apartado (1)
f '(0) = 0 → x = 0
Si x = -1 , f '(-1) = -(-1) = 1 > 0, luego f '(x) > 0 en (- ∞ .0) y por tanto f(x) creciente en (- ∞,0).
Si x = 1 , f '(1) = (1) = 1 > 0, luego f '(x) > 0 en (0,+ ∞ ) y por tanto f(x) creciente en (0,+ ∞ ).
Luego f(x) es creciente en R = (- ∞, 0) U (0,+ ∞ )
(3)
x×
f(x) dx = 
x×
f(x) dx + 
x×
f(x) dx =
= x× (1 - x2 ) dx + x× (1 + x2 ) dx =
= (x - x3 ) dx + (x + x3 ) dx = [x2/2 - x4/4 ]0-1 + [x2/2 - x4/4 ]20 = -1/4 + 6 = 23/4