Ejercicio nº
2 de la opción A del modelo 3 Junio del libro 98_99
[2'5 puntos]. De la función f :
R → R
definida por f (x) = ax3 + bx2 + cx + d se
sabe que tiene un máximo relativo en x = 1, un punto de
inflexión en (0, 0) y que
f
(x) dx = 5/4. Calcula a, b, c y d.
Solución
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d
Como tiene un máximo relativo en x = 1, f '(1) = 0
Como tiene un punto de inflexión en (0,0) tenemos por un lado f(0) = 0 y por otro f ''(0) = 0
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d
f '(x) = 3ax2 + 2bx2 + c
f ''(x) = 6ax + 2b
De f(0) = 0 tenemos 0 = 0+0+0+d, luego d = 0
De f ''(0) = 0 tenemos 0 = 0+2b, luego b = 0
De f '(1) = 0 tenemos 0 = 3a+0+c, luego 3a + c = 0
Como f (x) dx = 5/4, tenemos 5/4 = ( ax3 + cx ) dx = [ax4/4
+ cx2/2]2-1 = (4a + 2c) - (a/4 + c/2) = (15/4).a + (3/2).c
Resolviendo la ecuación 3a + c = 0 junto con la ecuación (15/4).a + (3/2).c = 5/4 obtenemos a = -5/3 y c = 5