Ejercicio nº
3 de la opción A del modelo 3 Junio del libro 98_99
[2'5 puntos]. Halla el punto del plano de ecuación x - z = 3 que está mas cerca del punto P = (3,1,4) así como la distancia entre el punto P y el plano dado.
Solución
π ≡ x - z = 3; P = (3,1,4)
El punto Q del plano que está mas cerca del punto P es la proyección ortogonal (perpendicular) de P sobre el plano π .
Calculamos la recta r perpendicular (
⊥) a π por el punto P. La recta r tiene como vector director el vector normal del plano n = (1,0,-1)r ≡ {x = 3 + λ , y = 1, z = 4 - λ }
Q = r ∩ π , intersección de r con π .
(3 + λ) - (4 - λ) = 3 → 2λ = 4 → λ = 2, luego el punto Q es Q(3 + 2, 1, 4 - 2) = Q(5,1,2)
La distancia del punto P al plano π coincide con la distancia del punto P al punto Q.
d(P, π ) = d(P,Q) = ||PQ|| = √(22+02+22) = √(8) unidades de longitud (u.l.)
PQ = (2,0,-2)