Ejercicio nº
1 de la opción B del modelo 3 Junio del libro 98_99
(1) [1 punto]. Dibuja la región limitada por la curva de ecuación y = x(3 - x) y la recta de ecuación y = 2x - 2.
(2) [1'5 puntos]. Halla el área de la región descrita en el apartado anterior.
Solución
(1)
y = x(3 - x) = 3x - x2 es una parábola
Cortes x = 0 → f(0) = 0. Punto (0,0)
f(x) = 0 → 3x - x2 = 0, de donde x = 0 y x = 3. Puntos (0,0) y (3, 0)
Vértice
Su abscisa es f '(x) = 0 → 3 - 2x = 0, luego x = 3/2
Ordenada f(3/2) = 3.(3/2) - (3/2)2 = 9/4. Vértice (3/2, 9/4)
Y las ramas hacia abajo porque el número que multiplica a x2 es negativo.
y = 2x - 2 es una recta y con dos valores es suficiente
La región limitada por la recta y la parábola es
(2)
Para determinar el área hemos de calcular os puntos de corte de la recta con la parábola, es decir las soluciones de la ecuación 3x - x2 = 2x - 2, que es una ecuación de 2º grado. -x2 + x +2 = 0.
Las soluciones de -x2 + x +2 = 0 son x = -1 y x = 2
Área = 
[(3x - x2) - (2x-2)] dx =(- x2 + x + 2)] dx =
= [-x3/3 +x2/2 + 2x]2-1 = (-8/3 + 2 + 4) - (1/3 + 1/2 -2) = 9/2 unidades de área (u.a.)